Der Flächeninhalt ist "orientiert", d.h. falls der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse liegt, ist der Wert des bestimmten Integrals negativ. Das Integral wechselt ebenfalls das Vorzeichen, wenn die untere und obere Integrationsgrenze vertauscht werden. Wenn eine Nullstelle in dem zu behandelnden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt ca. noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen x-Achse und Graph der Funktion, so muss das Integral aufgeteilt werden.

Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion. Die Fläche wird durch die Summe der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen "Treppenstufen" angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Wert jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen. Dies sind die nachdem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann genannten "Riemann-Summen". Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Zwischenwert, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme.

Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme läßt sich durch das Produkt aus der -- ebenfalls von Riemann eingeführten -- totalen Variation und der maximalen Intervalllänge in der Zerlegung abschätzen. Somit konvergieren die Riemannschen Zwischensummen gegen einen bestimmtes Integral genannten Wert, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt und die totale Variation endlich ist.

Dieser Grenzwert kann nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden.

Funktionen beschränkter totaler Variation sind alle stetigen und stückweise stetigen, sowie alle monotonen Funktionen. Umgekehrt kann man zeigen, dass es für solche Funktionen ca. abzählbar viele Unstetigkeitsstellen geben kann, und dass deren Anzahl für jede Sprunghöhe endlich ist.

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterfinder der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurück. Das Integralzeichen ist aus dem Buchstaben S für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation f(x) dx deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe f(x) und der infinitesimalen Breite dx zusammensetzt. Dieses dx wird Differential genannt. Es kommt auch in der Leibniz'schen Ableitungsnotation df/dx vor und wird in der Theorie der Differentialformen verallgemeinert.

Die Genialität dieser Notation zeigt sich zu dem Beispiel darin, dass das multiplikativ zu lesende dx immer garantiert, dass Integrale in der Physik dimensionsrichtig angesetzt werden. Zu dem Beispiel lautet die Definition der Energie E als Kraft F mal Weg s für wegabhängige Kräfte F(s):

Wenn man weiß, dass s in m und F in N gemessen wird, kann man sofort ablesen, dass E die Einheit Nm hat.

Ãœberdies ist dx eine mnemotechnische Hilfe bei der Integration durch Substitution.

In der Elementarmathematik werden Integralzeichen und Differential meistens wie eine Klammer um die Integrandfunktion geschrieben. In anspruchsvollerem Kontext hat es Vorteile, das Differential vor den Integranden zu schreiben: mehrdimensionale Integrale werden so leichter lesbar, und man hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist. Jedenfalls gilt:

Den Integralbegriff kann man recht einfach für den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der die Integrandfunktion f operiert, nicht die Zahlengerade R, sondern der n-dimensionale Euklidische Raum Rⁿ ist. Mehrdimensionale Integrale über ein Volumen V darf man nachdem Satz von Fubini berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet, die nacheinander abzuarbeiten sind:

Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in x, y und z muss man aus der Begrenzung des Volumens V ermitteln. In der Funktionalanalysis und theoretischen Physik lässt man mehrdimensionale Integrale am liebsten über den gesamten, unendlichen n-dimensionalen Raum laufen; die Konvergenz der Integrale erreicht man, indem man in den Integranden eine Indikatorfunktion aufnimmt, die zu dem Beispiel außerhalb eines vorgegebenen Volumens V überall 0 ist.

In der Funktionentheorie, also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben: denn zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch beliebige Pfade miteinander verbunden werden. Darum ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Linienintegral. Für geschlossene Pfade gilt der Residuensatz, das wahrscheinlich erstaunlichste Resultat von Cauchy: das Integral entlang einem geschlossenen Pfad hängt allein von den umschlossenen Singularitäten ab.

Bei Integrandfunktionen unendlicher Schwankung, z.B. Funktionen mit oszillierenden Singularitäten wie oder der Indexfunktion der rationalen Zahlen in dem Intervall [0,1] erweist sich das Riemann-Integral als untauglich. Erweiterte Integralbegriffe (die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren) wurden von Henri Leon Lebesgue, Stieltjes und Alfred Haar eingeführt.

Ein Sonderfall des bestimmten Integrals ist das uneigentliche Integral, bei dem die Fläche nicht an beiden Seiten begrenzt ist. Gesucht ist also:

oder

Obwohl die eingeschlossene Fläche durch keine endliche Linie begrenzt ist, kann der Flächeninhalt bei geeigneten Funktionen durchaus endlich sein. Beispiele hierfür sind die Gaußsche Glockenkurve und die Funktion 1/x².

Für manche Funktionen (wie z.B. die erwähnte Gaußkurve) ist auch das beidseitig uneigentliche Integral definiert:

Andere uneigentliche Integrale entstehen, wenn die Funktion in dem Integrationsbereich divergiert.

Es stellt sich heraus, dass die Integralrechnung sehr eng mit der Differentialrechnung zusammenhängt.

Eine Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) ist jede Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt. Da beim Differenzieren additive Konstanten wegfallen, gilt: Ist F(x) ein Stammfunktion von f(x), so ist es auch F(x) + C mit beliebigem C aus den reellen Zahlen. Außer F(x) + C gibt es keine weiteren Stammfunktionen zu f(x), d.h. zwei Stammfunktionen unterscheiden sich ca. um eine additive Konstante.

Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) ist nun die Menge aller Stammfunktionen von f(x):

Jede Funktion A(x), die den Flächeninhalt unter der Kurve von einer festen Untergrenze a bis zur variablen Obergrenze x angibt, also

entspricht einer bestimmten Stammfunktion von f(x).

Daraus ergibt sich, dass man jedes bestimmte Integral als eine Differenz zweier Stammfunktionen der zu integrierenden Funktion berechnen kann, da die additiven Konstanten bei der Subtraktion wegfallen (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung):

Anschaulich kann man das so verstehen:

Das Integral liefert die Fläche unter der Funktionskurve. Die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze sagt also, wie stark sich die Fläche ändert, wenn die rechte Integrationsgrenze verschoben wird, relativ zur Größe der Verschiebung dieser Grenze.

Wenn man nun aber die obere Grenze um einen sehr kleinen Betrag verschiebt, dann ändert sich die Fläche um ein kleines Rechteck, dessen Breite die Verschiebung der Grenze, und dessen Höhe der Funktionswert an dieser Stelle ist. Dessen Flächeninhalt ist natürlich das Produkt der beiden Längen, und Division durch die Verschiebung (= die Breite des Rechtecks) ergibt dann gerade wieder den Funktionswert. Da also die Ableitung der Integralfunktion wieder die integrierte Funktion ergibt, ist die Integralfunktion per Definitionem eine Stammfunktion derselben.

In der formalen Sprache der Mathematik ist das Integral ein lineares Funktional über dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen. Die Linearität besagt, dass das Integral der Summe zweier Funktionen f(x) und g(x) exakt der Summe der Integrale der Funktionen ist:

und dass das Integral des Vielfachen einer Funktion (Multiplikation mit einer Konstanten) das entsprechende Vielfache des Integrals ist:

Eine wichtiges Merkmal des bestimmten Integrals besteht darin, dass sich beim Vertauschen der Integrationsgrenzen das Vorzeichen ändert:

Die Umformung

die man als ein geschlossenes Pfadintegral auffassen kann, zeigt, dass es sich hierbei um einen Spezialfall des Integralsatzes von Cauchy (Cauchyscher Integralsatz) handelt: Sei f(z) eine stetig differenzierbare komplexe Funktion in einem einfach zusammenhängenden offenen Gebiet der Ebene, dann ist für jede stückweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve das Integral über f(z) entlang dieser Kurve gleich 0.

Weiteres Merkmalen des Integrals:

• Integralform der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
• Mittelwertsatz der Integralrechnung

Im Gegensatz zur Berechnung der Ableitungsfunktion ist die Berechnung der Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwer oder nicht möglich.

Häufig schlägt man Integrale in Tabellenwerken nach. Für einfache Fälle siehe unsere Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen.

Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung.

Folglich gilt:

oder das Selbe, wie man es in vielen Mathematikbüchern finden kann:

Diese Regel ist insbesondere dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von f(x) eine einfachere Funktion entsteht.

Beispiel:

Setzt man

und ,

so ist

und

und man erhält

Sei und G eine Stammfunktion von g, so ist und somit eine Stammfunktion von F, denn:

Das Erraten geeigneter Substitutionen ist vor allem Erfahrungssache.

Bei gewissen Integralen wie

kann man Winkelfunktionen und den trigonometrischen Pythagoras nutzen.

Es ist darauf zu achten, dass die Grenzen des Integrals nun nicht mehr für dx, sondern für dt gelten (t = acos(x)).

Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt eine der Integrationsregeln anzuwenden.

Häufig ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, die Fläche näherungsweise zu berechnen. Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen, zu dem Beispiel Polynome. Die Trapezregel oder auch die Simpsonsche Formel sind Beispiele dafür.

Zusätzlich zu Berechnung von Flächen hat die Integralrechung unter anderem folgende Anwendungsgebiete:

Berechnung

• von Rauminhalten
• der Länge eines Kurvenbogens
• von Oberflächen
• des Durchschnittswertes von kontinuierlichen Funktionen.

Ein physikalisches Phänomen, an dem der Integrallbegriff erklärt werden kann, ist der freie Fall eines Körpers in dem Schwerefeld der Erde. Bekanntlich beträgt die Beschleunigung g des freien Falls ungefähr 9,81 m / s².

Die Geschwindigkeit v eines Körpers lässt sich daher durch die Formel

ausdrücken.

Nun soll aber die Wegstrecke l berechnet werden, die der Körper nach einer bestimmten Zeit t in dem freien Fall zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit v des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne Δt die Geschwindigkeit v, die sich aus gt ergibt, konstant bleibt.

Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums Δt beträgt daher

Die gesamte Wegstecke lässt sich daher als

ausdrücken.

Wenn man nun die Zeitdifferenz Δt gegen Null streben lässt, erhält man

Aus der Bewegungsgleichung

lässt sich durch Differenzieren die Gleichung

für die Geschwindigkeit und durch nochmaliges diffenzieren

für die Beschleunigung erhalten.

• http://www.mathe-online.at/galerie/int/int.html - Visualisierungen zu dem Thema Integral